Question

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，E、F是AA₁、AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：直線EE₁∥平面FCC₁；
（Ⅱ）求二面角B-FC₁-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）構(gòu)造DM⊥CD，則以DM為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，欲證直線EE₁∥平面FCC₁，只需證明垂直于平面FCC₁的法向量即可．其中的坐標(biāo)由點(diǎn)E、E₁的坐標(biāo)易得，而平面FCC₁的法向量需設(shè)出后根據(jù)其與、垂直得到．
（Ⅱ）在（Ⅰ）所建立的空間直角坐標(biāo)系中，平面FCC₁的法向量已求得，而平面BFC₁的法向量可設(shè)出后由其與、垂直得到，此時(shí)求出兩法向量的夾角余弦值，則易得二面角B-FC₁-C的余弦值．
解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)锳B=4，BC=CD=2，F(xiàn)是棱AB的中點(diǎn)，
所以BF=BC=CF，△BCF為正三角形，
因?yàn)锳BCD為等腰梯形，所以∠BAD=∠ABC=60°，
取AF的中點(diǎn)M，并連接DM，則DM⊥AB，所以DM⊥CD，
以DM為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（，-1，0），F(xiàn)（，1，0），C（0，2，0），
C₁（0，2，2），E（，，0），E₁（，-1，1），
所以，
，，
設(shè)平面CC₁F的法向量為
則所以
取，
則，
所以，所以直線EE₁∥平面FCC₁．

（Ⅱ）解：，
設(shè)平面BFC₁的法向量為，
則所以，
取，
則，，
，
所以，
由圖可知二面角B-FC₁-C為銳角，所以二面角B-FC₁-C的余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量法解決空間問題．