Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖設M為線段AB中點，AE與BD交于點C∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，EM交BD于G．
（1）寫出圖中三對相似三角形，并對其中一對作出證明；
（2）連接FG，設α=45°，AB=4

2

，AF=3，求FG長．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件，∠DME=∠A=∠B=α，結合圖形上的公共角，即可推出△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，AMF∽△BGM；
（2）根據相似三角形的性質，推出BG的長度，依據銳角三角函數推出AC的長度，即可求出CG、CF的長度，繼而推出FG的長度．

解答：解：（1）△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM，…（3分）
∵∠AMD=∠B+∠D，∠BGM=∠DMG+∠D
又∠B=∠A=∠DME=α
∴∠AMF=∠BGM，
∴△AMF∽△BGM，…（5分）
（2）連接FG，
由（1）知，△AMF∽△BGM，

BG

AM

=

BM

AF

，BG=

8

3

∠α=45°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
AB=4

2

，AC=BC=4，CF=AC-AF=1，
CG=4-

8

3

=

4

3

，
∴由勾股定理得FG=

5

3

．…（10分）

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質、解直角三角形、等腰三角形的性質，解題的關鍵找到相似的三角形，根據其性質求出BG、AC的長度．