Question

已知數(shù)列{a_n}滿足

n

i=1

i•ai=i．
（I）求a_n的通項(xiàng)公式；
（II）若bn=

2n

an

，求b_n的前n項(xiàng)和S_n；
（III）若cn=

an

n

．求證：1-

1

2n

＜

n

i=1

ci＜2(n＞4)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知S_n求a_n的問題可以利用 an=

S1             n=1 Sn-Sn-1   n≥2

進(jìn)行求解，能合并就合并，從而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）求得 b_n=n•2ⁿ，是由一個(gè)等差數(shù)列與一等比數(shù)列的乘積，可利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和，再S_n的等式兩邊同時(shí)乘以公比，然后進(jìn)行作差即可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（III））把（Ⅰ）求得的結(jié)果代入，通過對c_n進(jìn)行放縮，達(dá)到求和的目的，從而證明了不等式的右邊；要證不等式的左邊，構(gòu)造函數(shù)f（x）=2^x-x²，求導(dǎo)，借助于該函數(shù)的單調(diào)性證明該不等式的左邊，從而證明結(jié)論正確．

解答：解：（I）當(dāng)n≥2時(shí)，nan=

n

i=1

i•ai-

n-1

i=1

i•ai=1?an=

1

n

當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1成立，故an=

1

n

（II）b_n=n•2ⁿ
S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
由①-②得，-S_n=2¹+2²+2³++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2
故S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2
（III）證明：cn=

1

n2

令f（x）=2^x-x²
f′（x）=2^xln2-2x，又ln2＞ln

e

=

1

2

故f′′（x）=2^x（ln2）²-2≥f′′（5）＞0
故f′（x）在[5，+∞）上單調(diào)遞增，故f′（x）≥f′（5）＞0
故f（x）在[5，+∞）上單調(diào)遞增，故f（x）≥f（5）=7＞0
故當(dāng)n＞4時(shí)，2ⁿ＞n²恒成立，即

1

2n

＜

1

n2

故

n

i=1

ci＞

n

i=1

1

2i

=1-

1

2n

又

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

故

n

i=1

ci＜1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2
綜上可得，1-

1

2n

＜

n

i=1

ci＜2(n＞4)

點(diǎn)評：此題是難題．考查學(xué)生根據(jù)數(shù)列遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式并利用錯(cuò)位相減法求和，以及把不能求和的數(shù)列問題通過放縮的方法達(dá)到求和的目的．特別是問題（III）的設(shè)問形式，構(gòu)造函數(shù)，借助于函數(shù)的單調(diào)性證明數(shù)列不等式，是高考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，注意體會．