Question

設平面向量

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂），定義運算⊙：

a

⊙

b

=x₁y₂-y₁x₂．已知平面向量

a

，

b

，

c

，則下列說法錯誤的是（　�。�

• A、（

  a

  ⊙

  b

  ）+（

  b

  ⊙

  a

  ）=0
• B、存在非零向量a，b同時滿足

  a

  ⊙

  b

  =0且

  a

  •

  b

  =0
• C、（

  a

  +

  b

  ）⊙

  c

  =

  a

  ⊙

  c

  +

  b

  ⊙

  c

• D、|

  a

  ⊙

  b

  |²=|

  a

  |²|

  b

  |²-|

  a

  •

  b

  |²

Answer 1

分析：根據定義不難得出B是錯誤的，

a

⊙

b

=x₁y₂-y₁x₂=0，說明向

a

、

b

是互相平行的向量，若

a

•

b

=0，說明它們是垂直的向量．因為不存在兩個非零向量，它們既平行又垂直，故B選項是錯誤的，而對于其它選項，可以分別證明它們是真命題．

解答：解：對于A，由定義得，

a

⊙

b

=x₁y₂-y₁x₂，

b

⊙

a

=x₂y₁-y₂x₁，所以（

a

⊙

b

）+（

b

⊙

a

）=0成立，A正確．
對于B，因為兩個向量

a

、

b

平行的充要條件是x₁y₂-y₁x₂=0，若非零向量a，b同時滿足

a

⊙

b

=0且

a

•

b

=0，說明兩個向量既平行又垂直，故B選項是錯誤的．
設對于C，設

c

=(m，n)，則（

a

+

b

）⊙

c

=（x₁+x₂，y₁+y₂）⊙

c

=n（x₁+x₂）-m（y₁+y₂）=（nx₁-y₁m）+（nx₂-my₂）=

a

⊙

c

+

b

⊙

c

，故C選項是正確的．
 對于D，|

a

⊙

b

|²=（x₁y₂-y₁x₂ ）²=x₁²y₂²-2x₁x₂y₁y₂+y₁²x₂²
|

a

|²|

b

|²-|

a

•

b

|²=（x₁²+y₁²）（x₂²+y₂²）-（x₁x₂+y₁y₂）²=x₁²y₂²-2x₁x₂y₁y₂+y₁²y₂²，因此D選項是正確的．
故選B

點評：本題考查了在新定義下向量數量積的應用，屬于基礎題．牢記面向量的平行、垂直的充要條件，準確運用它們的坐標運算，是解決本題的關鍵．