Question

在△ABC中，已知AB=2，BC=1，CA=，分別在AB，BC，CA上取點D，E，F(xiàn)使得△DEF為正三角形，設(shè)∠FEC=α．
（1）若α=60°，求△DEF的邊長；
（2）求△DEF邊長的最小值．

Answer 1

解：（1）若α=60°，則FD∥CB，設(shè)正三角形DEF的邊長為a，有，
解得．
（2）設(shè)正三角形DEF的邊長為a，CF=a•sinα，AF=-a•sinα
設(shè)∠EDB=∠1
∴∠1=180°-B-∠DEB=120°-∠DEBα=180°-60°-∠DEB=120°-∠DEB
∠ADF=180°-60°-∠1=120°-α
在△ADF中=
∴△DEF邊長最小值為：
分析：（1）若α=60°，則可推斷出FD∥CB，設(shè)正三角形DEF的邊長為a，分別在△FCE中和Rt△AED中分別表示出CF和AF，利用AC的值求得a．
（2）設(shè)正三角形DEF的邊長為a，則CF和AF可表示出，設(shè)出∠EDB=∠1，則可用α分別分別表示出∠1和∠ADF，然后利用正弦定理表示a，利用輔角公式化簡后，利用正弦函數(shù)的值域求得a的最小值．
點評：本題中主要考查了在實際問題中建立三角函數(shù)模型的問題．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．