Question

湖南省有許多旅游景點(diǎn)，某同學(xué)利用寒暑假旅游了張家界、南岳、韶山、岳陽(yáng)樓和桃花源等5個(gè)景點(diǎn)，并收藏有張家界紀(jì)念門(mén)票3張，南岳紀(jì)念門(mén)票2張，韶山、岳陽(yáng)樓、桃花源紀(jì)念門(mén)票各1張，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取5張．
（Ⅰ）求抽取的5張門(mén)票中恰有3個(gè)或恰有4個(gè)景點(diǎn)的概率；
（Ⅱ）若抽取的5張門(mén)票中5個(gè)景點(diǎn)都有記10分，恰有4個(gè)景點(diǎn)記8分，恰有3個(gè)景點(diǎn)記6分，依此類推．設(shè)ξ表示所得的分?jǐn)?shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記抽取的5張門(mén)票中“恰有3個(gè)景點(diǎn)”為事件A，“恰有4個(gè)景點(diǎn)”為事件B，然后根據(jù)古典概型的概率公式分別求出抽取的5張門(mén)票中恰有3個(gè)與恰有4個(gè)景點(diǎn)的概率，因?yàn)槭录嗀，B互斥，所以P（A+B）=P（A）+P（B），代入即可求出所求；
（Ⅱ）因?yàn)?張門(mén)票中至少含有2個(gè)景點(diǎn)，則ξ的可能取值為10，8，6，4．然后分別求出相應(yīng)的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式解之即可．

解答：解：（Ⅰ）記抽取的5張門(mén)票中“恰有3個(gè)景點(diǎn)”為事件A，“恰有4個(gè)景點(diǎn)”為事件B．
若抽取的5張門(mén)票中恰有3個(gè)景點(diǎn)，則至少要抽取2張張家界門(mén)票，
所以P(A)=

C 3 3 •( C 1 2 • C 1 3 + C 2 3 )+ C 2 3 • C 2 2 • C 1 3

C 5 8

=

9

28

．（2分）
若抽取的5張門(mén)票中恰有4個(gè)景點(diǎn)，則至多只能抽取2張張家界門(mén)票，
所以P(B)=

C 2 3 •( C 1 2 • C 2 3 + C 3 3 )+ C 1 3 • C 2 2 • C 2 3 + C 2 2 • C 3 3

C 5 8

=

31

56

．（5分）
因?yàn)槭录嗀，B互斥，所以P(A+B)=P(A)+P(B)=

9

28

+

31

56

=

49

56

=

7

8

．
故抽取的5張門(mén)票中恰有3個(gè)或恰有4個(gè)景點(diǎn)的概率是

7

8

．（6分）
（Ⅱ）因?yàn)?張門(mén)票中至少含有2個(gè)景點(diǎn)，則ξ的可能取值為10，8，6，4．（7分）
其中P(ξ=10)=

C 1 3 • C 1 2 • C 3 3

C 5 8

=

3

28

，
P(ξ=8)=P(B)=

31

56

，
P(ξ=6)=P(A)=

9

28

，
P(ξ=4)=

C 3 3 • C 2 2

C 5 8

=

1

56

．（10分）
所以ξ的分布列為

ξ	10	8	6	4
p	3 28	31 36	9 28	1 56

Eξ=10×

3

28

+8×

31

56

+6×

9

28

+4×

1

56

=

420

56

=

15

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了古典概型的概率公式，以及排列組合和離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，同時(shí)考查了分類討論的思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．