Question

【題目】已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓上任一點(diǎn)，若直線與的斜率之積為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若交直線于兩點(diǎn)，過左焦點(diǎn)作以為直徑的圓的切線.問切線長是否為定值，若是，請求出定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 過左焦點(diǎn)作以為直徑的圓的切線長為定值.過程見解析.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式化簡直線與的斜率之積得，再根據(jù)橢圓經(jīng)過點(diǎn)得，解方程組可得（2）設(shè)為圓的一條切線，切點(diǎn)為，由切割線定理得，根據(jù)直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組解得M,N坐標(biāo)，代入化簡可得.

（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意知，且

則

即①

又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn).

故②

由①②可知，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）可知設(shè)

由，得

所以直線的方程為，令，則，故

直線方程為，令，則，故

如圖，因?yàn)?/span>，

故以為直徑的圓在軸同側(cè).

設(shè)為圓的一條切線，切點(diǎn)為，連結(jié)

可知∽

故，則

故

故過左焦點(diǎn)作以為直徑的圓的切線長為定值.