如圖，F(xiàn)為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點，P為橢圓上一點，O為原點，記△OFP的面積為S，且
OF
•
FP
=1．
（1）設(shè)
1
2
＜S＜
3
2
，求向量
OF
與
FP
夾角的取值范圍．
（2）設(shè)|
OF
|=c，S=
3
4
c，當c≥2時，求當|
OP
|取最小值時的橢圓方程．
精英家教網(wǎng)
（1）設(shè)
OF
與
FP
的夾角為θ，由題意得
OF
•
FP
=|
OF
|•|
FP
|cosθ=1，S=
1
2
|
OF
|•|
FP
|sin(π-θ)…（2分）
兩式相除可得tanθ=2S，又
1
2
＜S＜
3
2
，所以1＜tanθ＜
3
…（2分）
所以向量
OF
與
FP
夾角的取值范圍是45°＜θ＜60°…（1分）
（2）設(shè)P（x0，y0），F(xiàn)（c，0），所以
OF
=(c，0)，
FP
=(x0-c，y0)，
所以
OF
•
FP
=c(x0-c)=1，即x0=c+
1
c
…（1分）
所以S=
1
2
c|y0|=
3
4
c，|y0|=
3
2
…（1分）
所以|
OP
|=
x20
+
y20
=
(c+
1
c
)2+
9
4
…（2分）
由單調(diào)性可知當c=2時有最小值，此時x0=
5
2
，…1分|y0|=3，此時F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），所以2a=PF1+PF2=
(
5
2
+2)2+
9
4
+
(
5
2
-2)2+
9
4
=2
10
…（2分）
所以橢圓方程為
x2
10
+
y2
6
=1…（2分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，F(xiàn)是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個焦點，A、B是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為
1
2
，點C在x軸上，BC⊥BF，由B、C、F三點確定的圓M恰好與直線x+
3
y+3=0相切．
（I）求橢圓的方程；
（II）過F作一條與兩坐標軸都不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點，若在x軸上存在一點N（x0，0），使得直線NP與直線NQ關(guān)于x軸對稱，求x0的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，F(xiàn)是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個焦點，A，B是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為
1
2
．點C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F(xiàn)三點確定的圓M的半徑為2．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點A的直線l與圓M交于P、Q兩點，且
MP
•
MQ
=-2求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，F(xiàn)是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點，A，B分別是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為
1
2
，點C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F(xiàn)三點確定的圓M恰好與直線l1：x+
3
y+3=0相切
（1）求橢圓的方程；
（2）過點A的直線l2與圓M交于P，Q兩點，且
MP
•
MQ
=-2，求直線l2的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，F(xiàn)為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點，P為橢圓上一點，O為原點，記△OFP的面積為S，且
OF
•
FP
=1．
（1）設(shè)
1
2
＜S＜
3
2
，求向量
OF
與
FP
夾角的取值范圍．
（2）設(shè)|
OF
|=c，S=
3
4
c，當c≥2時，求當|
OP
|取最小值時的橢圓方程．

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