Question

17．設(shè)命題p：$\frac{m-2}{m-3}$≤$\frac{2}{3}$；命題 q：關(guān)于x的不等式x²-4x+m²≤0的解集是空集，若“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 求出命題P與命題q分別成立時(shí)，m的范圍，利用復(fù)合命題的真假，推出p，q有且只有一個(gè)為真．然后求解m的范圍．

解答 解：由$\frac{m-2}{m-3}$≤$\frac{2}{3}$；得$\frac{m}{m-3}≤0$，∴0≤m＜3．
∴p：0≤m＜3．
由關(guān)于x的不等式x²-4x+m²≤0的解集是空集，得△=16-4m²＜0，
∴m＞2或m＜-2．
∴q：m＞2或m＜-2．
∵p∨q為真，p∧q為假，
∴p，q有且只有一個(gè)為真．
若p真，q假，則0≤m＜3且-2≤m≤2，∴0≤m≤2；
若p假，q真，則m＜0或m≥3，同時(shí)m＜-2或m＞2，
∴m＜-2或m≥3．
∴m的取值范圍是（-∞，-2）∪[0，2]∪[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，復(fù)合命題的真假的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．