Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=10（x-1），數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，．
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；　
（2）當(dāng)n取何值時(shí)，{b_n}取最大值，并求出最大值；
（3）若＜對(duì)任意m∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

證明：（1）由方程，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0
得：（a_n+1-a_n）×10×（a_n-1）+（a_n-1）²=0
整理得（a_n-1）[10×（a_n+1-a_n）+a_n-1]=0；
顯然由a₁=2，則a_n顯然不是常數(shù)列，且不等于1，所以兩邊除以a_n-1；
得10×（a_n+1-a_n）+a_n-1=0．整理后得：10（a_n+1-1）=9（a_n-1），
a₁-1=1，{a_n-1}就是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．
解：（2）將a_n-1=（）^n-1代入得b_n=（）ⁿ×（n+2）．
b_n+1-b_n=（）ⁿ⁺¹×（n+3）-（）ⁿ×（n+2）=（）ⁿ×．
∴{b_n}在[1，7]上單調(diào)遞增，在[8，+∞）上單調(diào)遞減
∴當(dāng)n取7或8，{b_n}取最大值，最大值為9×（）⁷
（3）設(shè)數(shù)列{}，若＜對(duì)任意m∈N^*恒成立，
則數(shù)列{}為遞增數(shù)列，設(shè)其通項(xiàng)為c_n=為遞增數(shù)列；
那么對(duì)于任意的自然數(shù)n，我們都有c_n+1＞c_n 顯然我們可以得：＞
該不等式恒成立條件是左邊的比右邊的最大值還要大，就行取n=1．求得t＞
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為（，+∞）
分析：（1）將a_n，代入函數(shù)f（x）與g（x）的解析式化簡(jiǎn)得（a_n-1）[10×（a_n+1-a_n）+a_n-1]=0，所以兩邊除以a_n-1，得10（a_n+1-1）=9（a_n-1），而a₁-1=1，{a_n-1}就是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．
（2）求出b_n的通項(xiàng)公式，然后研究{b_n}的單調(diào)性，從而求出n取何值時(shí)，b_n取最大值，以及最大值；
（3）設(shè)數(shù)列{}，若＜對(duì)任意m∈N^*恒成立，則數(shù)列{}為遞增數(shù)列，設(shè)其通項(xiàng)為c_n=為遞增數(shù)列；那么對(duì)于任意的自然數(shù)n，我們都有c_n+1≥c_n，從而求出t的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的判定，以及數(shù)列的最值和數(shù)列的單調(diào)性的判定，是一道綜合題，有一定的難度．