Question

如圖，F(xiàn)為雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)．P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于x軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．已知四邊形OFPM為平行四邊形，|PF|=λ|OF|．
（Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率e與λ的關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)λ=1時(shí)，設(shè)雙曲線右支與x軸的交點(diǎn)為R，且|PR|=2，求此時(shí)的雙曲線方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，四邊形OFPM是平行四邊形，分析可得|OF|=|PM|=c，作雙曲線的右準(zhǔn)線交PM于H，由雙曲線的性質(zhì)可得|PM|=|PH|+2

a2

c

，又由e=

|PF|

|PH|

，代入化簡可得答案；
（Ⅱ）分析可得，當(dāng)λ=1時(shí)，四邊形OFPM是菱形，則e=2，即c=2a，可得|OF|=|PF|=2a，可求得點(diǎn)p的橫坐標(biāo)，作PQ⊥x軸，垂足為Q，則點(diǎn)Q為線段RF的中點(diǎn)，進(jìn)而可得△PQF為等腰三角形，則|PR|=2a=2，即可得a、b的值，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵四邊形OFPM是平行四邊形，
∴|OF|=|PM|=c，
作雙曲線的右準(zhǔn)線交PM于H，
則|PM|=|PH|+2

a2

c

，
又e=

|PF|

|PH|

=

λ|OF|

c-2 a2 c

=

λc

c-2 a2 c

=

λc2

c2-2a2

=

λe2

e2-2

，
e²-λe-2=0
（Ⅱ）當(dāng)λ=1時(shí)，四邊形OFPM是菱形
e=2，c=2a，即|OF|=|PF|=2a，2a=ex_P-a（或2a=xP+

a2

c

）
可求得點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為eP=

3

2

a
作PQ⊥x軸，垂足為Q，則點(diǎn)Q為線段RF的中點(diǎn)，
所以△PQF為等腰三角形，
所以|PR|=2a=2，即a=1，b=

3

，
雙曲線方程為：x2-

y2

3

=1．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用，此類題目一般計(jì)算量較大，解本題時(shí)，注意把握平行四邊形與菱形的性質(zhì)，尋找突破點(diǎn)，同時(shí)可以減小運(yùn)算量．