Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，是線段EF的中點.

（1）求證AM//平面BDE

（2）求二面角A―DF―B的大小

（3）試在線段AC上確定一點P，使得PF與BC所成的角是60°

Answer 1

（1）證明：記AC與BD的交點，為O，連接OE.

O，M分別是AC、EF的中點且ACEF是矩形，

∴四邊形AOEM是平行四邊形

∴AM//OE

又OE平面BDE，AM平面BDE.

∴AM//平面BDE

（2）在平面AFD中過A作AS⊥DF于S點，連接BS

 

∴AB⊥AF    ∴AB⊥AD    ADAF=A     ∴AB⊥平面ADF

∴AS是BS在平面ADF上的射影，   ∴BS⊥DF

∴∠BSA是二面角A―DF―B的平面角

在Rt△ASB中，AS  ∴tan∠ASB=  ∴∠ASB=60°

∴二面角A―DF―B的大小為60°

（3）設CP=；作PQ⊥AB于Q，則PQ//AD

PQ⊥AB，PQ⊥AF，ABAF=A   ∴PQ⊥平面ABF  ∴PQ⊥QF

在Rt△PQF中，∠FPQ=60°，PF=2PQ

△PAQ為等腰直角三角形，  ∴PQ  又△PAF為Rt△，

∴  ∴t=1或t=3（舍）

即P是AC的中點。