用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n為正整數(shù)時(shí),13+23+33+…+n3=
n2(n+1)24
分析:用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),去證明等式成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等時(shí)成立,用上歸納假設(shè)后,去證明當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立即可.
解答:證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=
12×22
4
=1,
∴等式成立…2分
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等時(shí)成立,即13+23+33+…+k3=
k2(k+1)2
4
…4分
那么,當(dāng)n=k+1時(shí),有13+23+33+…+k3+(k+1)3=
k2(k+1)2
4
+(k+1)3…6分
=(k+1)2•(
k2
4
+k+1)
=(k+1)2
k2+4k+4
4

=
(k+1)2(k+2)2
4

=
(k+1)2[(k+1)+1]2
4
…8分
這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立…9分
根據(jù)(1)和(2),可知對(duì)n∈N*等式成立…10分
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)學(xué)歸納法,用好歸納假設(shè)是關(guān)鍵,考查邏輯推理與證明的能力,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知m,n為正整數(shù).
(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)x>-1時(shí),(1+x)m≥1+mx;
(Ⅱ)對(duì)于n≥6,已知(1-
1
n+3
)n
1
2
,求證(1-
m
n+3
)n<(
1
2
)m
,m=1,2…,n;
(Ⅲ)求出滿足等式3n+4n+5n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整數(shù)n.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:函數(shù)f(x)=-
1
6
x3+
1
2
x2+x
,x∈R.
(Ⅰ)求證:函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(1,
4
3
)
中心對(duì)稱,并求f(-2007)+f(-2006)+…+f(0)+f(1)+…+f(2009)的值.
(Ⅱ)設(shè)g(x)=f′(x),an+1=g(an),n∈N+,且1<a1<2,求證:
(。┱(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n≥2時(shí),1<an
3
2
;
(ⅱ)|a1-
2
|+|a2-
2
|+…+|an-
2
|<2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(理科做)設(shè)f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
,用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n≥2,n∈N*時(shí),n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=nf(n).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),xn+yn能被x+y整除,第二步的假設(shè)應(yīng)寫成
假設(shè)n=2k-1,k∈N*時(shí)命題正確,即當(dāng)n=2k-1,k∈N*時(shí),x2k-1+y2k-1能被x+y整除
假設(shè)n=2k-1,k∈N*時(shí)命題正確,即當(dāng)n=2k-1,k∈N*時(shí),x2k-1+y2k-1能被x+y整除

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),xn+yn能被x+y整除,第二步的假設(shè)應(yīng)寫成假設(shè)n=
2k-1
2k-1
,k∈N*時(shí)命題正確,再證明n=
2k+1
2k+1
,k∈N*時(shí)命題正確.

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