Question

已知（

1

2

+2x）ⁿ．
（1）若展開式中第5項、第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)；
（2）若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項．

Answer 1

分析：（1）第k+1項的二項式系數(shù)為C_n^k，由題意可得關(guān)于n的方程，求出n．
而二項式系數(shù)最大的項為中間項，n為奇數(shù)時，中間兩項二項式系數(shù)相等；n為偶數(shù)時，中間只有一項．
（2）由展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，可得關(guān)于n的方程，求出n．
而求展開式中系數(shù)最大的項時，可通過解不等式組求得，假設(shè)T_k+1項的系數(shù)最大，T_k+1項的系數(shù)為r_k，則有

rk≥ rk+1 rk≥rk-1

解答：解：（1）∵C_n⁴+C_n⁶=2C_n⁵，
∴n²-21n+98=0，
∴n=7或n=14．
當(dāng)n=7時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T₄和T₅，
∴T₄的系數(shù)=C₇³（

1

2

）⁴2³=

35

2

，
T₅的系數(shù)=C₇⁴（

1

2

）³2⁴=70．
當(dāng)n=14時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T₈．
∴T₈的系數(shù)=C₁₄⁷（

1

2

）⁷2⁷=3432．
（2）由C_n⁰+C_n¹+C_n²=79，可得n=12，設(shè)T_k+1項的系數(shù)最大．
∵（

1

2

+2x）¹²=（

1

2

）¹²（1+4x）¹²，
∴

C k 12 4k≥ C k-1 12 4k-1 C k 12 4k≥ C k+1 12 4k+1

∴9.4≤k≤10.4，∴k=10，
∴展開式中系數(shù)最大的項為T₁₁．
T₁₁=（

1

2

）¹²C₁₂¹⁰4¹⁰x¹⁰=16896x¹⁰．

點評：本題考查二項展開式中二項式系數(shù)和與系數(shù)和問題，難度較大，易出錯．要正確區(qū)分這兩個概念．