已知向量
m
=(sinA，cosA)，
n
=(
3
，-1)，
m
•
n
=1，且A為銳角．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）求函數(shù)f(x)=
3
cos2x+4cosAsinxcosx(x∈[0，
π
2
])的值域．
分析：（I）由題意可得：
m
•
n
=
3
sinA-cosA=1，即可得到2sin(A-
π
6
)=1，進(jìn)而得到答案．
（II）由（I）可得：f（x）=2sin(2x+
π
3
)，再結(jié)合定義域與正弦函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的值域．
解答：解：（I）由題意可得：向量
m
=(sinA，cosA)，
n
=(
3
，-1)，
所以
m
•
n
=
3
sinA-cosA=1，
所以2sin(A-
π
6
)=1，即sin(A-
π
6
)=
1
2
，
所以A=
π
3
．
（II）由（I）可得：
f(x)=
3
cos2x+4cos
π
3
sinxcosx
=
3
cos2x+sin2x
=2sin(2x+
π
3
)，
因為x∈[0，
π
2
]，
所以
π
3
≤2x+
π
3
≤
4π
3
，
所以-
3
2
≤sin(2x+
π
3
)≤1，
所以-
3
≤y≤2．
由以上可得函數(shù)f（x）的值域為[-
3
，2]．
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的數(shù)量積運算，以及掌握兩角和與差的正弦公式與正弦函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，則sin2θ的值為
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，設(shè)函數(shù)f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）先將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，然后將圖象向下平移
1
2
個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間上[0，
3π
4
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，當(dāng)θ∈[0，π]時，函數(shù)f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面積．

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