Question

當-π≤x≤π時，函數(shù)f（x）滿足2f（-sinx）+3f（sinx）=sin2x，則f（x）是（　�。�

• A、奇函數(shù)
• B、偶函數(shù)
• C、非奇非偶函數(shù)
• D、既奇又偶函數(shù)

Answer 1

分析：欲判斷函數(shù)的奇偶性，只須驗證f（-x）與f（x）的關(guān)系，故必須先由條件求得f（x）的解析式，考慮到將sinx看成整體，利用二倍角公式進行轉(zhuǎn)換，即可達到目的．

解答：解：當-

1

2

π≤x≤

1

2

π時，cosx=

1-sin 2x

，
∴2f（-sinx）+3f（sinx）=sin2x
即：2f（-sinx）+3f（sinx）=2sinxcosx
設(shè)t=sinx，則2f（-t）+3f（t）=2t

1-t2

，①
從而：2f（t）+3f（-t）=-2t

1-t2

，②
由①②得：f（t）=2t

1-t2

，
當

1

2

π≤x≤π時，cosx=-

1-sin 2x

，
∴2f（-sinx）+3f（sinx）=sin2x
即：2f（-sinx）+3f（sinx）=2sinxcosx
設(shè)t=sinx，則2f（-t）+3f（t）=-2t

1-t2

，
從而：2f（t）+3f（-t）=2t

1-t2

，
得：f（t）=-2t

1-t2

，
當-π≤x≤-

1

2

π時，cosx=-

1-sin 2x

，
∴2f（-sinx）+3f（sinx）=sin2x
即：2f（-sinx）+3f（sinx）=2sinxcosx
設(shè)t=sinx，則2f（-t）+3f（t）=-2t

1-t2

，
從而：2f（t）+3f（-t）=2t

1-t2

，
得：f（t）=-2t

1-t2

，
∴當-π≤x≤π時，函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x），則f（x）是奇函數(shù)．
故選A

點評：本小題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)解析式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．