Question

13．已知P（a，b）為圓x²+y²=4上任意一點，則$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$最小時，a²的值為（　　）

• A． $\frac{4}{5}$
• B． 2
• C． $\frac{4}{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 P（a，b）為圓x²+y²=4上任意一點，可得：a²+b²=4．設(shè)a=2cosθ，b=2sinθ．代入$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$=$\frac{1}{4co{s}^{2}θ}$+$\frac{4}{4si{n}^{2}θ}$=$\frac{1}{4}$$（ta{n}^{2}θ+1+4+\frac{4}{ta{n}^{2}θ}）$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵P（a，b）為圓x²+y²=4上任意一點，
∴a²+b²=4．
設(shè)a=2cosθ，b=2sinθ．
則$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$=$\frac{1}{4co{s}^{2}θ}$+$\frac{4}{4si{n}^{2}θ}$=$\frac{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}{4co{s}^{2}θ}$+$\frac{4（si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ）}{4si{n}^{2}θ}$=$\frac{1}{4}$$（ta{n}^{2}θ+1+4+\frac{4}{ta{n}^{2}θ}）$≥$\frac{1}{4}（2\sqrt{ta{n}^{2}θ•\frac{4}{ta{n}^{2}θ}}+5）$=$\frac{9}{4}$，當且僅當tan²θ=2時取等號，a²=4cos²θ=$\frac{4co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{4}{ta{n}^{2}θ+1}$=$\frac{4}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、圓的標準方程、三角函數(shù)代換，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．