Question

已知a＞1，命題p：a（x-2）+1＞0，命題q：（x-1）²＞a（x-2）+1＞0．若命題p、q同時(shí)成立，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：命題p、q同時(shí)成立，說明不等式組解集為非空集合，化簡整理得．接下來分三種情況加以討論：①當(dāng)1＜a＜2時(shí)，有，結(jié)合a＞2-，可得此時(shí)x的取值范圍為（2-，a）∪（2，+∞）；②當(dāng)a=2時(shí)，易得此時(shí)x的取值范圍為（，2）∪（2，+∞）；③當(dāng)a＞2時(shí)，對照①的分析，可得此時(shí)x的取值范圍為（2-，2）∪（a，+∞）．
解答：解：依題意，命題p、q同時(shí)成立，說明不等式組解集為非空集合，
即解集非空，結(jié)合已知條件a＞1，解得（4分）
①當(dāng)1＜a＜2時(shí)，則有，
而a-（2-）=a+-2＞0，即a＞2-，
∴不等式組的解為：x＞2或2-＜x＜a．
因此，此時(shí)x的取值范圍為（2-，a）∪（2，+∞）．（6分）
②當(dāng)a=2時(shí)，則x＞且x≠2，此時(shí)x的取值范圍為（，2）∪（2，+∞）．（8分）
③當(dāng)a＞2時(shí)，則有⇒x＞a或2-＜x＜2．（10分）
因此，此時(shí)x的取值范圍為（2-，2）∪（a，+∞）．（12分）
點(diǎn)評：本題以復(fù)合命題的真假判斷為載體，著重考查了不等式的同解變形、含有字母參數(shù)的不等式組的解法等知識點(diǎn)，屬于中檔題．