Question

設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足等式2a+b=1且有2

ab

-4a²-b²≤t-

1

2

恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

t≥

2

2

．

Answer 1

分析：正實(shí)數(shù)a，b滿足等式2a+b=1⇒4a²+b²=1-4ab，故有2

ab

-4a²-b²≤t-

1

2

恒成立?t≥2

ab

-（1-4ab）+

1

2

=4ab+2

ab

-

1

2

=4 (

ab

+

1

4

) 2-

3

4

恒成立，故t需大于或等于4(

ab

+

1

4

)2-

3

4

的最大值，由基本不等式可求得

ab

的最大值，從而得到4(

ab

+

1

4

)2-

3

4

的最大值，問題解決了．

解答：解：∵a＞0，b＞0，2a+b=1，
∴4a²+b²=1-4ab，
∴2

ab

-4a²-b²≤t-

1

2

恒成立可轉(zhuǎn)化為：t≥2

ab

-（1-4ab）+

1

2

恒成立；
又2

ab

-（1-4ab）+

1

2

=4ab+2

ab

-

1

2

=4 (

ab

+

1

4

) 2-

3

4

，
∴t≥[4(

ab

+

1

4

)2-

3

4

] max（a＞0，b＞0，2a+b=1），
由基本不等式可得：1=2a+b≥2

2ab

，故

ab

≤

2

4

（當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=

1

2

時(shí)取“=”），
∴[4(

ab

+

1

4

)2-

3

4

]max=4(

2

4

+

1

4

)2-

3

4

=

3+2 2

4

-

3

4

=

2

2

．
故答案為：t≥

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題，難點(diǎn)在于對(duì)條件中“-4a²-b²”的觀察與應(yīng)用，著重考查基本不等式的性質(zhì)與函數(shù)單調(diào)性及對(duì)恒成立問題的理解與應(yīng)用，屬于難題．