Question

已知函數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）若a=4，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）記函數(shù)g（x）=x²f'（x）+2x³，若函數(shù)g（x）的最小值為，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/462760.png' />
所以
當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，∴遞減區(qū)間為（0，）；
當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0，∴遞增區(qū)間為
（Ⅱ）令
∴
又∵x≥1
∴恒成立
又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/462765.png' />在x[1，+∞）上恒成立
∴a≥2
（Ⅲ）∵（x＞0）
∴g'（x）=6x²+a
當(dāng)a≥0時(shí)，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無最小值；
∴a＜0
令g'（x）=0則?a=-6x₀²
當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，g'（x）＜0，g（x）遞減；
當(dāng)x＞x₀時(shí)，g'（x）＞0，g（x）遞增；
∴當(dāng)x=x₀時(shí)，g（x）取最小值．

∴
∴
∴a=-12
∴
分析：（Ⅰ）先求出其導(dǎo)函數(shù)，再解f'（x）＜0以及f'（x）＞0即可找到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）把函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)在[1，+∞）上恒大于等于0，在結(jié)合x≥1即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）先求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)，找到其取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的變量，結(jié)合函數(shù)g（x）的最小值為，求出實(shí)數(shù)a即可求函數(shù)f（x）的解析式．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，導(dǎo)函數(shù)大于0對(duì)應(yīng)的區(qū)間為函數(shù)的增區(qū)間；導(dǎo)函數(shù)小于0對(duì)應(yīng)的區(qū)間為函數(shù)的減區(qū)間．