Question

正方體的棱長為，是它的內(nèi)切球的一條弦（我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦），為正方體表面上的動點，當弦的長度最大時，的取值范圍是          ．

Answer 1

試題分析：當弦MN經(jīng)過圓心時，弦MN最長，此時，MN=2,。以A^‘為原點，如圖，建立空間直角坐標，不妨設(shè)MN是上下底面對中心，則M(1,1,2),N(1,1,0),設(shè)P（x,y,z）,則，因為P為正方體面上的點，根據(jù)x,y,z的對稱性可知，的取值范圍與點P在那個面上無關(guān)。不妨設(shè)，點P在底面內(nèi)，此時有0≤x≤2，0≤y≤2，z=0,所以此時，當x=y=1時，=0，此時最小。當點P位于正方形的頂點時，最大，此時有，所以最大為2.

點評：此題的難度較大，主要考查學(xué)生最值的求法，靈活應(yīng)用空間直角坐標系，設(shè)出點的坐標，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決。