Question

已知函數f（x）=

9-x2

的定義域為集合A．
（1）若函數g（x）=log₂（x²-2x+3）的定義域也為集合A，g（x）的值域為B，求A∩B；
（2）已知C={x|

a+2

x-a+1

＞1}，若C⊆A，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數定義域和值域的性質進行求解，然后利用集合的基本運算計算求A∩B；
（2）根據集合之間的關系建立不等式關系即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）由9-x²≥0，得-3≤x≤3，
∴A=[-3，3]，
設u=x²-2x+3=（x-1）²+2，
當x∈A時，2≤u≤18，于是1≤g（x）≤log₂18，
即B=[1，log18]，
∵log₂18＞3，
∴A∩B=[1，3]．
（2））由

a+2

x-a+1

＞1，得

a+2

x-a+1

-1＞0，
即[x-（a-1）][x-（2a+1）]＜0．
當a=-2時，C=∅，滿足C⊆A；
當a＞-2時，C=（a-1，2a+1），
∵C⊆A，
∴

a-1≥-3 2a+1≤3

，
解得-2≤a≤1，
又a＞-2，
∴-2＜a≤1；
當a＜-2時，C=（2a+1，a-1），
∵C⊆A，
∴

2a+1≥-3 a-1≤3

，
解得-2≤a≤4，
又a＜-2，
∴此時無解；
綜上所述，實數a的取值范圍是-2≤a≤1．

點評：本題主要考查函數定義域和值域的求法以及集合的基本運算，考查學生的計算能力．