已知A1,A2為雙曲線(xiàn)C:
x2
2
-y2=1
的左右兩個(gè)頂點(diǎn),一條動(dòng)弦垂直于x軸,且與雙曲線(xiàn)交于P,Q(P點(diǎn)位于x軸的上方),直線(xiàn)A1P與直線(xiàn)A2Q相交于點(diǎn)M,
(1)求出動(dòng)點(diǎn)M(2)的軌跡方程
(2)設(shè)點(diǎn)N(-2,0),過(guò)點(diǎn)N的直線(xiàn)交于M點(diǎn)的軌跡上半部分A,B兩點(diǎn),且滿(mǎn)足
NA
NB
,其中λ∈[
1
5
,
1
3
]
,求出直線(xiàn)AB斜率的取值范圍.
分析:(1)設(shè)P(x0,y0),Q(x0,-y0),從而可得直線(xiàn)A1P的方程為:
y
y0
=
x+
2
x0+
2
直線(xiàn)A2Q的方程為:
y
-y0
=
x-
2
x0-
2
由兩式得到:
y2
-y02
=
x2-2
x02-2
,結(jié)合
x02
2
-y02=1
,可得M的軌跡方程
(2)
NA
NB
,∴A,B,N三點(diǎn)共線(xiàn),及點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-2,0).可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=k(x+2),其中k為直線(xiàn)AB的斜率,依條件知k≠0.,聯(lián)立方程
y=k(x+2)
x2
2
+y2=1
消去x得(
1
k
y-2)2+2 y2=2
,即
2k2+1
k2
y2-
4
k
y+2=0

根據(jù)條件可知
k≠0
4
k
) 2-8•
2k2+1
k2
<0
y1y2=
4k
2k2+1
y1y2=
2k2
2k2+1
,又由
NA
NB
,建立坐標(biāo)之間的關(guān)系,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可
解答:解:(1)設(shè)P(x0,y0),Q(x0,-y0),A1(-
2
,0),A2(
2
,0)

直線(xiàn)A1P的方程為:
y
y0
=
x+
2
x0+
2
,(1)
直線(xiàn)A2Q的方程為:
y
-y0
=
x-
2
x0-
2
,(2)
將(1)×(2)得到:
y2
-y02
=
x2-2
x02-2
,又因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
x02
2
-y02=1.
所以得到M的軌跡方程為:
x2
2
+y2=1
,(y≠0)
(2)
NA
NB
,∴A,B,N三點(diǎn)共線(xiàn),而點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-2,0).
設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=k(x+2),其中k為直線(xiàn)AB的斜率,依條件知k≠0.
y=k(x+2)
x2
2
+y2=1
消去x得(
1
k
y-2)2+2 y2=2
,即
2k2+1
k2
y2-
4
k
y+2=0

根據(jù)條件可知
k≠0
4
k
) 2-8•
2k2+1
k2
<0
解得0<|k|<
2
2
(5分)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則根據(jù)韋達(dá)定理,得
y1y2=
4k
2k2+1
y1y2=
2k2
2k2+1

又由
NA
NB
得(x1+2,y1)=λ(x2+2,y2
x1+2=λ(x2+2)
y1y2
從而
(1+λ)y2=
4k
2k2+1
λ
y
2
2
=
2k2
2k2+1
消去y2
(1+λ)2
λ
=
8
2k2+1
消去
∅(λ)=
(1+λ)2
λ
,λ∈[
1
5
,
1
3
]
(λ)=1- 
1
λ2
 =
λ2-1
λ2

由于
1
5
≤λ≤
1
3
所以∅(λ)是區(qū)間[
1
5
1
3
]
上的減函數(shù),
從而∅(
1
3
)≤∅(λ)≤∅(
1
5
)
,即
16
3
≤∅(λ)≤
36
5
,
16
3
8
2k2+1
≤  
36
5
,∴
16
3
8
2k2+1
36
5
解得
2
6
≤|k|≤
1
2

0<k<
2
2
,∴
2
6
≤k≤
1
2

因此直線(xiàn)AB的斜率的取值范圍是[
2
6
1
2
]
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了由雙曲線(xiàn)的性質(zhì)求解橢圓的方程,及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的綜合考查,要求考生具備一定的綜合能力及推理運(yùn)算的能力,綜合性比較強(qiáng).
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NA
NB
,其中λ∈[
1
5
1
3
]
,求出直線(xiàn)AB斜率的取值范圍.

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