Question

已知函數(shù)．
（I）當的單調(diào)性；
（II）證明：．

Answer 1

解：（I）因為 ，
所以 =x∈（0，+∞），
令g（x）=ax²-x+1-a，x∈（0，+∞），
由f′（x）=0，
即a×2-x+1=0，解得x₁=1，x₂=．
①當a=時，x₁=x₂，g（x）≥0恒成立，
此時f（x）≤0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
②當＜a＜1時，
x∈（0，）時，g（x）＞0，此時f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
x∈（，1）時，g（x）＜0，此時f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
x∈（1，+∞）時，g（x）＞0，此時f（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
③當a=1時，
x∈（0，1）時，g（x）＜0，此時f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
x∈（1，∞）時，g（x）＞0此時函數(shù)f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
④當a＞1時，x∈（0，1）時，g（x）＜0，此時f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
x∈（1，∞）時，g（x）＞0此時函數(shù)f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
（II）由（I）知，當a=時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
則函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
∴f（x）＜f（1）=ln1--1=-1，
即lnx-x-1＜-1，
即lnx，即，
令x=2，3，…，n．得
，
，，
，
…
．
將上述各式相加得．
分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)來討論函數(shù)的單調(diào)性即可，具體的步驟是：（1）確定 f（x）的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù) 的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定 的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．（II）由（I）知，當a=時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；則函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；lnx-x-1＜-1，進行變形可得，令x=2，3，…，n．不所得的各式相加即可證明結(jié)論．
點評：此題是個難題．本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和等價變換思想．