已知:A,B,C是直線l上的點(diǎn),O是直線l外一點(diǎn),且
OA
-[f(x)+
f(1)
3
]
OB
+x3
OC
=
0
,若當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),af(x)-3x+1≥0恒成立,則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____.
∵A,B,C是直線l上的點(diǎn),O是直線l外一點(diǎn),且
OA
-[f(x)+
f(1)
3
]
OB
+x3
OC
=
0

∴f(x)+
f(1)
3
-x3=0,
∴f(1)+
f(1)
3
-1=0,
∴f(1)=
3
4
,
∴f(x)=x3-
1
4
,
∴af(x)-3x+1≥0為a(x3-
1
4
)-3x+1≥0
(1)a=0時(shí),-3x+1≥0在[-1,1]上不能恒成立
(2)a<0時(shí),f′(x)=3ax2-3<0,f(x)是減函數(shù),其最小值為f(1).
若對(duì)x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立,則需f(1)≥0
3
4
a-3+1≥0,
∴a≥
8
3
,
∵a<0,∴此時(shí)無(wú)解.
(3)a>0時(shí),f(x)=a(x3-
1
4
)-3x+1≥0恒成立,x∈[-1,1],
①x=0時(shí),-
a
4
+1≥0成立,∴a≥4
②0<x≤1時(shí),a≥
3x-1
x3

令g(x)=
3x-1
x3
,求導(dǎo)得g′(x)=
-6x+3
x4

易知0<x<
1
2
時(shí)函數(shù)遞增,
1
2
<x<1時(shí)遞減,
∴g(x)最大值為g(
1
2
)=4,
∴a≥4
③-1≤x<0時(shí),a≤
3x-1
x3

令g(x)=
3x-1
x3
,求導(dǎo)得g′(x)=
-6x+3
x4

可知g(x)在-1<x<0時(shí)是增函數(shù),其最小值為g(-1)=4
∴a≤4
由②知a≥4,
∴a=4.
綜上知a=4.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知a=(2xy+1,xy-2),b=(2,-2),當(dāng)x,y為何值時(shí)(1)ab (2)ab

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知
a
=(1,2),
b
=(-2,k),若
a
b
,則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_____.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,以
AB
=
a
,
AD
=
b
為基底向量,則
OB
=______.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知點(diǎn)A(1,2),B(4,-2),則與
AB
平行的單位向量的坐標(biāo)為( 。
A.(
3
5
,-
4
5
)
B.(-
3
5
,
4
5
)
C.(
3
5
,-
4
5
)
(-
3
5
,
4
5
)
D.(
3
5
,-
4
5
)
(-
3
5
4
5
)
(
3
5
,
4
5
)
(-
3
5
,-
4
5
)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

△ABC中,若
AD
=2
DB
,
CD
=
1
3
CA
CB
,則λ=( 。
A.
1
3
B.
2
3
C.-
2
3
D.-
1
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題







查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知e1,e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量,若a=e1+e2,b=-4e1+2e2,則a與b的夾角為(    ).
A.30°B.60°C.120°D.150°

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知點(diǎn),點(diǎn),若,則點(diǎn)的坐標(biāo)是         。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案