Question

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=

1，x∈Q 0，x∈CRQ

，則f（f（x））=

1

下面三個(gè)命題中，所有真命題的序號(hào)是

①②③

．
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對(duì)x∈R恒成立；
③存在三個(gè)點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），使得△ABC為等邊三角形．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，可得不管x是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)，均有f（f（x））=1．根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數(shù)，①正確；根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的性質(zhì)，得②正確；取x₁=-

3

3

，x₂=0，x₃=

3

3

，可得A（

3

3

，0）、B（0，1）、C（-

3

3

，0）三點(diǎn)恰好構(gòu)成等邊三角形，得③正確．

解答：解：∵當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，f（x）=1；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，f（x）=0
∴當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，ff（（x））=f（1）=1；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，ff（（x））=f（0）=1
即不管x是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)，均有f（f（x））=1
接下來(lái)判斷三個(gè)命題的真假
對(duì)于①，因?yàn)橛欣頂?shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無(wú)理數(shù)的相反數(shù)還是無(wú)理數(shù)，
所以對(duì)任意x∈R，都有f（-x）=-f（x），故①正確；
對(duì)于②，若x是有理數(shù)，則x+T也是有理數(shù)； 若x是無(wú)理數(shù)，則x+T也是無(wú)理數(shù)
∴根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對(duì)x∈R恒成立，故②正確；
對(duì)于③，取x₁=-

3

3

，x₂=0，x₃=

3

3

，可得f（x₁）=0，f（x₂）=1，f（x₃）=0
∴A（

3

3

，0），B（0，1），C（-

3

3

，0），恰好△ABC為等邊三角形，故③正確．
故答案為：1     ①②③

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊函數(shù)表達(dá)式，求函數(shù)的值并討論它的奇偶性，著重考查了有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．