在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
3
2
,且過(guò)點(diǎn)(
3
,
1
2
)

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)橢圓E的左右頂點(diǎn)分別為A1,A2,上頂點(diǎn)為B,圓C與以線(xiàn)段OA2為直徑的圓關(guān)于直線(xiàn)A1B對(duì)稱(chēng),
①求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
②設(shè)點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn),求△PA1B的面積的最大值.
分析:(1)利用橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
3
2
,且過(guò)點(diǎn)(
3
,
1
2
)
,建立方程組,可求橢圓的幾何量,從而可得橢圓方程;
(2)①由題意A1(-2,0),A2(2,0),B(0,1),從而可得以線(xiàn)段OA2為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑為1
求出(1,0)關(guān)于直線(xiàn)A1B的方程的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),即可求得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
②由于A(yíng)1B=
4+1
=
5
,所以△PA1B的面積最大時(shí),P到A1B的距離最大,當(dāng)且僅當(dāng)P到A1B的距離最大值為C到A1B的距離加上半徑,從而可得△PA1B的面積的最大值.
解答:解:(1)由題意,∵橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
3
2
,且過(guò)點(diǎn)(
3
,
1
2
)
,
c
a
=
3
2
3
a2
+
1
4
b2
=1
a2=b2+c2
,∴
a2=4
b2=1

∴橢圓方程為
x2
4
+y2=1
;
(2)①由題意A1(-2,0),A2(2,0),B(0,1)
∴以線(xiàn)段OA2為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑為1
直線(xiàn)A1B的方程為
x
-2
+y=1
,即x-2y+2=0
設(shè)C(m,n),則
n
m-1
×
1
2
=-1
m+1
2
-2×
n
2
+2=0
,∴m=-2,n=
3
2

∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y-
3
2
2=1;
②∵A1B=
4+1
=
5
,∴△PA1B的面積最大時(shí),P到A1B的距離最大
當(dāng)且僅當(dāng)P到A1B的距離最大值為C到A1B的距離加上半徑,即
|-2-2×
3
2
+2|
5
+1=
3
5
+1

∴△PA1B的面積的最大值為
1
2
×
5
×(
3
5
+1)
=
3+
5
2
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查圓的方程,考查點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性,考查三角形面積的計(jì)算,確定△PA1B的面積最大時(shí),P到A1B的距離最大是關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓心在直線(xiàn)y=x+4上,半徑為2
2
的圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)若F為橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在圓C上,且滿(mǎn)足PF=4,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A(yíng),B兩點(diǎn).若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
,則sin(α+β)的值是
16
65
16
65

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1
的離心率為
1
2
,則m的值為
4
4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•泰州三模)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
,其中t≠0.設(shè)直線(xiàn)AC與BD的交點(diǎn)為P,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程(以t為參數(shù))及普通方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•東莞一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A(yíng)1,A2的任一點(diǎn),直線(xiàn)QA1,QA2分別交x軸于點(diǎn)S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點(diǎn)M(m,n),使得直線(xiàn)l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案