已知拋物線C：y=ax2（a＞0）上的點P（b，1）到焦點的距離為
5
4
，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）如圖，已知動線段AB（B在A右邊）在直線l：y=x-2上，且|AB|=
2
，現(xiàn)過A作C的切線，取左邊的切點M，過B作C的切線，取右邊的切點為N，當MN∥AB，求A點的橫坐標t的值．
分析：（Ⅰ）求出拋物線的準線方程，利用拋物線的定義把點P（b，1）到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，由此可求a的值；
（Ⅱ）設出M和N的坐標，利用導數(shù)求出過M和N的切線方程，由t表示出A，B的坐標，把A，B代入切線方程后求出M和N的坐標，由兩點式寫出MN所在直線的斜率，由斜率等于1即可求出t的值．
解答：解：（Ⅰ）拋物線C：y=ax2即x2=
1
a
y，準線方程為：y=-
1
4a
，
∵點P（b，1）到焦點的距離為
5
4
，∴1+
1
4a
=
5
4
，∴a=1，∴拋物線C的方程為y=x2；
（Ⅱ）設M(x1，
x
2
1
)，N(x2，
x
2
2
)，∵y=x2，∴y'=2x，∴kAM=2x1，
∴切線AM的方程為：y-
x
2
1
=2x1(x-x1)，即y=2x1x-
x
2
1
，
同理可得切線BN的方程為：y=2x2x-
x
2
2

由于動線段AB（B在A右邊）在直線l：y=x-2上，且|AB|=
2
，
故可設A（t，t-2），B（t+1，t-1），
將A（t，t-2）代入切線AM的方程，得t-2=2x1t-
x
2
1
，即
x
2
1
-2tx1+t-2=0，
∴x1=
2t-
4t2-4(t-2)
2
=t-
t2-t+2
，
同理可得x2=t+1+
(t+1)2-(t+1)+2
=t+1+
t2+t+2
，
∵kMN=
x
2
2
-
x
2
1
x2-x1
=x1+x2，當MN∥AB時，kMN=1，得x1+x2=1，
∴t-
t2-t+2
+t+1+
t2+t+2
=1，
∴2t=
t2-t+2
-
t2+t+2
，
∴2t=
-2t
t2-t+2
+
t2+t+2

得t=0或
t2-t+2
+
t2+t+2
=-1（舍去），∴t=0．
點評：本題考查了拋物線的方程，運用了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法．考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓練了利用導數(shù)求曲線上某點的切線方程，考查了二次方程根的求法，解答此題的關(guān)鍵是用A點的坐標表示出B點的坐標，屬難題．
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2
7
，過C上一點M，且與M處的切線垂直的直線稱為C在點M的法線．
（Ⅰ）若C在點M的法線的斜率為-
1
2
，求點M的坐標（x0，y0）；
（Ⅱ）設P（-2，a）為C對稱軸上的一點，在C上是否存在點，使得C在該點的法線通過點P？若有，求出這些點，以及C在這些點的法線方程；若沒有，請說明理由．

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