Question

點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線(xiàn)C：x²=2y上的不同兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作拋物線(xiàn)C的切線(xiàn)，兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)P（x₀，y₀）．
（1）求證：x₀是x₁與x₂的等差中項(xiàng)；
（2）若直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)M（0，1），求證：原點(diǎn)O是△PAB的垂心；
（3）在（2）的條件下，求△PAB的重心G的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）對(duì)x²=2y求導(dǎo)　　得y'=x，
所以直線(xiàn)PA：y=x₁（x-x₁）+y₁，即
同理，直線(xiàn)，解得
所以x₀是x₁與x₂的等差中項(xiàng)； （5分）
（2）設(shè)直線(xiàn)AB：y=kx+1，代入x²=2y整理得x²-2kx-2=0．
∴，得
∴即AB⊥OP；k_AP=x₁，
∴，
∴AP⊥OB，同理BP⊥OA，
所以原點(diǎn)O是△PAB的垂心； （（10分），只需證明兩個(gè)垂直就得滿(mǎn)分）
（3）設(shè)△PAB的重心G（x，y），則，
因?yàn)閗∈R，所以點(diǎn)G的軌跡方程為． （15分）
分析：（1）首先求出拋物線(xiàn)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求出直線(xiàn)PA和PB的方程，得出 即可證明結(jié)論．
（2）設(shè)出直線(xiàn)方程并代入拋物線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理求出x0和y0，即可求出斜率，根據(jù)斜率乘積為-1得出垂直即可證明結(jié)論；
（3）設(shè)中重心的坐標(biāo)為G（x，y），可以得出x=k，y=k²+，即可求出軌跡方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩直線(xiàn)垂直的判定，三角形的重心等知識(shí)，（3）問(wèn)明確重心的意義是解題的關(guān)鍵，解題過(guò)程要認(rèn)真，屬于中檔題．