Question

2010年上海成功舉辦了舉世矚目的第41屆世博會．有一家公司設(shè)置了這樣一個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)：對于函數(shù)f（n）=log_n+1（n+2），n∈N*，如果正整數(shù)k滿足乘積f（1）f（2）f（3）•…•f（k）為整數(shù)，則稱k為“世博幸運(yùn)數(shù)”，每天買到當(dāng)天第k張世博門票的游客可以獲贈該公司的一份“幸運(yùn)禮品”．那么每天第一個(gè)獲得“幸運(yùn)禮品”的是買到當(dāng)天第

 

 張世博門票的游客；在某天購得前2010張世博門票的游客中能夠獲得“幸運(yùn)禮品”的至多有

 

人．

Answer 1

分析：先利用換底公式與疊乘法把a(bǔ)₁•a₂•a₃…a_k化為log₂（k+2）；然后根據(jù)a₁•a₂•a₃…a_k為整數(shù)，可得k=2ⁿ-2；最后由等比數(shù)列通項(xiàng)公式解決問題．

解答：解：a_n=log_n+1（n+2）=

log2(n+2)

log2(n+1)

（n∈N⁺），
∴a₁•a₂•a₃…a_k=

log23

log22

•

log24

log23

•

log25

log24

…

log2(k+2)

log2(k+1)

=log₂（k+2）
又∵a₁•a₂•a₃…a_k為整數(shù)
∴k+2必須是2的n次冪（n∈N⁺），即k=2ⁿ-2．
∴k∈[1，2011]內(nèi)所有的幸運(yùn)數(shù)為：
M=（2²-2），（2³-2），（2⁴-2），…，（2¹⁰-2）
那么每天第一個(gè)獲得“幸運(yùn)禮品”的是買到當(dāng)天第2²-2=2張世博門票的游客；
在某天購得前2010張世博門票的游客中能夠獲得“幸運(yùn)禮品”的至多有9人．
故答案為2；9．

點(diǎn)評：本題在理解新定義的基礎(chǔ)上，考查換底公式、疊乘法及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，其綜合性、技巧性是比較強(qiáng)的．