Question

已知函數(shù)f（x）=

bx+c

x+1

的圖象過原點，且關于點（-1，1）成中心對稱．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}（n∈N^*）滿足：a_n＞0，a₁=1，a_n+1=（f（

an

））²，求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（Ⅲ）若數(shù)列{a_n}的前項和為S_n，判斷S_n，與2的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=

bx+c

x+1

的圖象過原點，代入可得c=0；由函數(shù)f（x）=

bx

x+1

=b-

b

x+1

的圖象關于點（-1，1）成中心對稱可知b=1，從而求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）由a_n+1=（f（

an

））²可得

an+1

=

an

an +1

，從而

1

an+1

-

1

an

=1，從而求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（Ⅲ）當n≥2時，a_n=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，從而可得S_n＜2．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=

bx+c

x+1

 的圖象過原點，
∴c=0，即f（x）=

bx

x+1

，
又∵函數(shù)f（x）=

bx

x+1

=b-

b

x+1

的圖象關于點（-1，1）成中心對稱，
∴b=1，
故f（x）=

x

x+1

．
（Ⅱ）∵a_n+1=（f（

an

））²，
∴

an+1

=

an

an +1

，
即，

1

an+1

-

1

an

=1．
∴數(shù)列{

1

an

}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．
∴

1

an

=n，
即a_n=

1

n2

．
（Ⅲ）當n≥2時，
a_n=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
則S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
＜1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2，
故S_n＜2．

點評：本題考查了函數(shù)的對稱性與函數(shù)中參數(shù)的求法，同時考查了數(shù)列的通項公式與前n項和的求法，屬于難題．