Question

14．設(shè)點P為有公共焦點F₁、F₂的橢圓M和雙曲線Г的一個交點，且cos∠F₁PF₂=$\frac{3}{5}$，橢圓M的離心率為e₁，雙曲線Г的離心率為e₂．若e₂=2e₁，則e₁=（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{7}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{7}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{4}$

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)橢圓與雙曲線的標準方程分別為：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{_{1}}^{2}}$=1，$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{_{2}}^{2}}$=1（a_i，b_i＞0，a₁＞b₁，i=1，2），
a₁²-b₁²=a₂²+b₂²=c²，c＞0．設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．可得m+n=2a₁，n-m=2a₂，由于cos∠F₁PF₂=$\frac{3}{5}$，在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：（2c）²=m²+n²-2mn•$\frac{3}{5}$，結(jié)合e₂=2e₁，化簡整理即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)橢圓與雙曲線的標準方程分別為：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{_{1}}^{2}}$=1，$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{_{2}}^{2}}$=1（a_i，b_i＞0，a₁＞b₁，i=1，2），
a₁²-b₁²=a₂²+b₂²=c²，c＞0．
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．
則m+n=2a₁，n-m=2a₂，
解得m=a₁-a₂，n=a₁+a₂，
由cos∠F₁PF₂=$\frac{3}{5}$，在△PF₁F₂中，
由余弦定理可得：（2c）²=m²+n²-2mn•$\frac{3}{5}$，
∴4c²=（a₁-a₂）²+（a₁+a₂）²-$\frac{6}{5}$（a₁-a₂）（a₁+a₂），
化為5c²=a₁²+4a₂²，
∴$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{4}{{{e}_{2}}^{2}}$=5．
∵e₂=2e₁，∴e₁=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
故選：C．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的定義標準方程及其性質(zhì)、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．