Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax，g（x）=2x²+b，已知它們的圖象在x=1處有相同的切線．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）和g（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=f（x）-m•g（x）在區(qū)間[

1

2

，3]上是單調(diào)減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）欲求函數(shù)f（x）和g（x）的解析式利用在點x=1處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，利用斜率相等列出等式．從而求出a，b．
（Ⅱ）由于F（x）=f（x）-mg（x）=x³+x-2mx²，求出其導(dǎo)數(shù)得F'（x）=3x²-4mx+1，原問題等價于3x²-4mx+1≤0在區(qū)間[

1

2

，3]上恒成立，最后利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決即得．

解答：解：（I）f'（x）=3x²+a，g'（x）=4x

f(1)=g(1) f′(1)=g′(1)

，

1+a=2+b 3+a=4

∴

a=1 b=0

∴f（x）=x³+x，g（x）=2x²

（Ⅱ）∵F（x）=f（x）-mg（x）=x³+x-2mx²
∴F'（x）=3x²-4mx+1若x∈[

1

2

，3]時，F(xiàn)（x）是減函數(shù)，
則3x²-4mx+1≤0恒成立，
得

F′( 1 2 )≤0 F′(3)≤0

∴m≥

7

3

．
實數(shù)m的取值范圍m≥

7

3

．

點評：本小題主要考查函數(shù)解析式的求解及待定系數(shù)法、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．