Question

已知整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=2，且2a_n-1＜a_n-1+a_n+1＜2a_n+1（n∈N，n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）將數(shù)列{a_n}中的所有項(xiàng)依次按如圖所示的規(guī)律循環(huán)地排成如下三角形數(shù)表：

…
依次計(jì)算各個(gè)三角形數(shù)表內(nèi)各行中的各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來(lái)行的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）令cn=2+ban+b•2an-1（b為大于等于3的正整數(shù)），問(wèn)數(shù)列{c_n}中是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列？若存在，求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列{a_n}是整數(shù)數(shù)列，結(jié)合2a_n-1＜a_n-1+a_n+1＜2a_n+1，可得2a_n=a_n-1+a_n+1，根據(jù)等差數(shù)列的定義，推出{a_n}是等差數(shù)列，進(jìn)而求出其通項(xiàng)公式；
（2）仔細(xì)讀題，找到其循環(huán)規(guī)律，確定b_n是第幾個(gè)循環(huán)中的第幾行中各數(shù)之和是解題的關(guān)鍵．
（3）由（1）（2）的結(jié)論，求出c_n的表達(dá)式，利用等比數(shù)列的定義，得到關(guān)于b、n的關(guān)系式，然后分n=1，n=2，n≥3分別討論，即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）因?yàn)閿?shù)列{a_n}是整數(shù)數(shù)列，所以a_n是整數(shù)，
所以2a_n-1，a_n-1+a_n+1，2a_n+1都是整數(shù)．
又2a_n-1＜a_n-1+a_n+1＜2a_n+1（n∈N，n≥2），
所以2a_n=a_n-1+a_n+1，
即數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差d=a₂-a₁=1的等差數(shù)列，所以a_n=n．

（2）設(shè)每一個(gè)循環(huán)（4行）記為一組，由于每一個(gè)循環(huán)含有4行，
故b₁₀₀是第25個(gè)循環(huán)中的第4行中各數(shù)之和．
由循環(huán)分組規(guī)律知，每個(gè)循環(huán)共有10項(xiàng)，
故第25個(gè)循環(huán)中的第4行內(nèi)的4個(gè)數(shù)分別為數(shù)列{a_n}中的第247項(xiàng)至第250項(xiàng)，
又a_n=n．所以b₁₀₀=247+248+249+250=994．
b₅=a₁₁=11，所以b₅+b₁₀₀=11+994=1005．

（3）因?yàn)?span id="vx7hrbl" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">cn=2+ban+b•2an-1=2+bn+b•2n-1，
設(shè)數(shù)列{c_n}中，c_n，c_n+1，c_n+2成等比數(shù)列，即c_n+1²=c_n•c_n+2，
所以（2+nb+b+b•2ⁿ）²=（2+nb+b•2^n-1）（2+nb+2b+b•2ⁿ⁺¹）
化簡(jiǎn)得b=2ⁿ+（n-2）•b•2^n-1（*）
當(dāng)n=1時(shí)，b=1，等式（*）成立，而b≥3，故等式（*）不成立；
當(dāng)n=2時(shí)，b=4，等式（*）成立；
當(dāng)n≥3時(shí)，b=2ⁿ+（n-2）•b•2^n-1＞（n-2）•b•2^n-1≥4b，這與b≥3矛盾，故等式（*）不成立．
綜上所述，當(dāng)b≠4時(shí)，數(shù)列{c_n}中不存在連續(xù)三項(xiàng)等等比數(shù)列；
當(dāng)b=4時(shí)，數(shù)列{c_n}中存在連續(xù)三項(xiàng)等等比數(shù)列，這三項(xiàng)依次是18，30，50．

點(diǎn)評(píng)：本題在應(yīng)用等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的同時(shí)，還考查了學(xué)生的邏輯推理能力，運(yùn)算能力以及對(duì)公式的靈活運(yùn)用能力，是一道綜合性很強(qiáng)的題目．