Question

如圖，有一塊邊長為1（百米）的正方形區(qū)域ABCD，在點A處有一個可轉(zhuǎn)動的探照燈，其照射角∠PAQ始終為45°（其中點P，Q分別在邊BC，CD上），設(shè)∠PAB=θ，tanθ=t．
（1）用t表示出PQ的長度，并探求△CPQ的周長l是否為定值．
（2）問探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S至多為多少（平方百米）？

Answer 1

分析：（1）利用已知條件，結(jié)合直角三角形，直接用t表示出PQ的長度，然后推出△CPQ的周長l為定值．
（2）利用S=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△ADQ，推出探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S，利用基本不等式求出面積的最小值（平方百米）．

解答：解：（1）BP=t，0≤t≤1，
∠DAQ=45°-θ，DQ=tan（45°-θ）=

1-t

1+t

，
CQ=1-

1-t

1+t

=

2t

1+t

，
∴PQ=

CP2+CQ2

=

(1-t)2+( 2t 1+t )2

=

1+t2

1+t

．
∴l(xiāng)=CP+CQ+PQ
=1-t+

2t

1+t

+

1+t2

1+t

=1-t+1+t=2．
（2）S=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△ADQ
=1-

t

2

-

1

2

•

1-t

1+t

=2-

1

2

(t+1+

2

t+1

)
≤2-

2

．
當(dāng)t=

2

-1時取等號．
探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S至多為2-

2

（平方百米）．

點評：本題考查三角形的實際應(yīng)用，函數(shù)值的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力．