Question

已知α、β都是銳角，且sinβ=sinαcos（α+β）．
（1）當(dāng)α+β=

π

4

，求tanβ的值；
（2）當(dāng)tanβ取最大值時(shí)，求tan（α+β）的值．

Answer 1

（1）∵α+β=

π

4

，且sinβ=sinαcos（α+β）．
∴sinβ=

2

2

sin（

π

4

-β），整理得

3

2

sinβ-

1

2

cosβ=0，
∵β為銳角，
∴tanβ=

sinβ

cosβ

=

1

3

．
（2）由題意，得sinβ=sinαcosαcosβ-sin²αsinβ，
兩邊都除以cosβ，得tanβ=sinαcosα-sin²αtanβ，
∴tanβ=

sinαcosα

1+sin2α

=

sinαcosα

2sin2α+cos2α

=

tanα

2tan2α+1

=

1

2tanα+ 1 tanα

∵α是銳角，∴2tanα+

1

tanα

≥2

2tanα• 1 tanα

=2

2

因此，tanβ=

1

2tanα+ 1 tanα

≤

1

2 2

=

2

4

．
當(dāng)且僅當(dāng)

1

tanα

=2tanα?xí)r，取“=”號，
∴tanα=

2

2

時(shí)，tanβ取得最大值

2

4

，
由此可得，tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2

．