Question

（2012•廣州一模）如圖所示，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=

6

，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于點D，AD=1，CD=3，PD=2．
（1）求三棱錐P-ABC的體積；
（2）證明△PBC為直角三角形．

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直的性質，證明PD⊥平面ABC，再計算△ABC的面積，即可求三棱錐P-ABC的體積；
（2）證法1：計算出BC，PB，PC，利用BC²+PB²=PC²，可得結論；
證法2：利用線面垂直的判定證明BC⊥平面PBD，從而BC⊥PB．

解答：（1）解：因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PD?平面PAC，PD⊥AC，所以PD⊥平面ABC．…（2分）
記AC邊上的中點為E，
在△ABC中，因為AB=BC，所以BE⊥AC．
因為AB=BC=

6

，AC=4，
所以BE=

BC2-CE2

=

( 6 )2-22

=

2

．…（4分）
所以△ABC的面積S△ABC=

1

2

×AC×BE=2

2

．…（5分）
因為PD=2，所以三棱錐P-ABC的體積VP-ABC=

1

3

×S△ABC×PD=

1

3

×2

2

×2=

4 2

3

．…（7分）
（2）證法1：因為PD⊥AC，所以△PCD為直角三角形．
因為PD=2，CD=3，所以PC=

PD2+CD2

=

22+32

=

13

．…（9分）
連接BD，在Rt△BDE中，因為∠BED=90°，BE=

2

，DE=1，
所以BD=

BE2+DE2

=

( 2 )2+12

=

3

．…（10分）
由（1）知PD⊥平面ABC，又BD?平面ABC，所以PD⊥BD．
在Rt△PBD中，因為∠PDB=90°，PD=2，BD=

3

，
所以PB=

PD2+BD2

=

22+( 3 )2

=

7

．…（12分）
在△PBC中，因為BC=

6

，PB=

7

，PC=

13

，
所以BC²+PB²=PC²．…（13分）
所以△PBC為直角三角形．…（14分）
證法2：連接BD，在Rt△BDE中，因為∠BED=90°，BE=

2

，DE=1，
所以BD=

BE2+DE2

=

( 2 )2+12

=

3

．…（8分）
在△BCD中，CD=3，BC=

6

，BD=

3

，
所以BC²+BD²=CD²，所以BC⊥BD．…（10分）
由（1）知PD⊥平面ABC，
因為BC?平面ABC，所以BC⊥PD．
因為BD∩PD=D，所以BC⊥平面PBD．…（12分）
因為PB?平面PBD，所以BC⊥PB．
所以△PBC為直角三角形．…（14分）

點評：本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．