Question

已知橢圓：的右焦點(diǎn)在圓上，直線交橢圓于、兩點(diǎn).

(Ⅰ) 求橢圓的方程；

(Ⅱ) 若OM⊥ON(為坐標(biāo)原點(diǎn))，求的值；

(Ⅲ) 設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為（與不重合），且直線與軸交于點(diǎn)，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

(3) 的面積存在最大值

【解析】

試題分析：解(Ⅰ) 由題設(shè)知，圓的圓心坐標(biāo)是，半徑為，

故圓與軸交與兩點(diǎn)，.……………1分

所以，在橢圓中或，又，

所以，或 (舍去，∵),    3分

于是，橢圓的方程為.   4分

(Ⅱ) 設(shè)，；

直線與橢圓方程聯(lián)立,  

化簡(jiǎn)并整理得.   5分

∴，,∴，

.……7分

∵，∴,即得 

∴，，即為定值.  9分

(Ⅲ) ∵，

∴直線的方程為.…………10分

令，則 

, 

∴ 11分

∴ 

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.

故的面積存在最大值.……………13分

(或: , 令，

則.  12分

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).

故的面積存在最大值.   13分 

考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。