已知橢圓：的右焦點在圓上，直線交橢圓于、兩點.

(Ⅰ) 求橢圓的方程；

(Ⅱ) 若OM⊥ON(為坐標(biāo)原點)，求的值；

(Ⅲ) 設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為（與不重合），且直線與軸交于點，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

 

【答案】

（1）

（2）

(3) 的面積存在最大值

【解析】

試題分析：解(Ⅰ) 由題設(shè)知，圓的圓心坐標(biāo)是，半徑為，

故圓與軸交與兩點，.……………1分

所以，在橢圓中或，又，

所以，或 (舍去，∵),    3分

于是，橢圓的方程為.   4分

(Ⅱ) 設(shè)，；

直線與橢圓方程聯(lián)立,  

化簡并整理得.   5分

∴，,∴，

.……7分

∵，∴,即得 

∴，，即為定值.  9分

(Ⅲ) ∵，

∴直線的方程為.…………10分

令，則 

, 

∴ 11分

∴ 

當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.

故的面積存在最大值.……………13分

(或: , 令，

則.  12分

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時.

故的面積存在最大值.   13分 

考點：直線與橢圓的位置關(guān)系

點評：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓，的右焦點為F，上頂點為A，P為C1上任一點，圓心在y軸上的圓C2與斜率為的直線切于點B，且AF∥。

（1）求圓的方程及橢圓的離心率。

（2）過P作圓C2的切線PE，PG，若的最小值為，求橢圓的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江西省高三三�？荚�?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓：的右焦點在圓上，直線交橢圓于、兩點.

(1)求橢圓的方程；

(2)若(為坐標(biāo)原點)，求的值；

(3)設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為（與不重合），且直線與軸交于點，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江西省高三三模考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓：的右焦點在圓上，直線交橢圓于、兩點.

(1)求橢圓的方程；

(2)若(為坐標(biāo)原點)，求的值；

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(本小題滿分13分)

已知橢圓：的右焦點為F，離心率，橢圓C上的點到F的距離的最大值為，動點,以O(shè)M為直徑的圓的圓心是.

（I）求橢圓的方程C的方程.

（II）若點N在圓上，且,過N作直徑OM的垂線NP,垂足為P,求證：直線NP恒過右焦點F.

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