如圖，在直三棱柱ABO—A′B′O′中，OO′=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是線段A′B′的中點(diǎn)，P是側(cè)棱BB′上的一點(diǎn)，若OP⊥BD，求OP與底面AOB所成角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

 

答案：
解析：

解：解法一：如圖1，以O點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

由題意，有B（3，0，0），D（，2，4），設(shè)P（3，0，z），則

={－，2，4}，={3，0，z}.

∵BD⊥OP，∴·=－+4z=0，z=.

∵BB′⊥平面AOB，∴∠POB是OP與底面AOB所成的角.

tanPOB=，∴∠POB=arctan.

解法二：取O′B′中點(diǎn)E，連結(jié)DE、BE，如圖2，則  

DE⊥平面OBB′O′，

∴BE是BD在平面OBB′O′內(nèi)的射影.

又∵OP⊥BD.

由三垂線定理的逆定理，得OP⊥BE.

在矩形OBB′O′中，易得Rt△OBP∽R(shí)t△BB′E，

∴，得BP=.

（以下同解法一）

 

 


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如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；　

(Ⅲ)求點(diǎn)C到平面B1DP的距離．

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P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

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P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1∥平面BDA．

(I)求證：CD=C1D：

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（I）求證：CD=C1D；
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(I)求證：CD=C1D：

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