Question

給定圓C：x²+y²=4，過點(diǎn)P（1，0）作兩條互相垂直的直線與C分別交于A、B和M，N，則+的最大值是    ．

Answer 1

【答案】分析：由圓C的方程找出圓心C的坐標(biāo)和半徑r，設(shè)出直線AB的斜率為k，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，得到直線MN的斜率為-，由兩直線都過P點(diǎn)，進(jìn)而分別表示出兩直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式分別求出圓心到兩直線的距離d₁和d₂，由垂徑定理得到垂足為中點(diǎn)，由弦心距，半徑，利用勾股定理求出弦的一半，進(jìn)而表示出|AB|和|MN|，得出|AB|²+|MN|²的值為定值，再表示出|MN|•|AB|，變形后求出|MN|•|AB|的最小值，把所求的式子通分后，將求出的|AB|²+|MN|²的值及|MN|•|AB|的最小值代入，即可求出所求式子的最大值．
解答：解：由圓的方程x²+y²=4，得到圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=2，
設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-1），即kx-y-k=0，
則直線MN的方程為：y=-（x-1），即x+ky-1=0，
∴圓心到直線AB的距離d₁=，到直線MN的距離d₂=，
∴|AB|=2=2，|MN|=2=2，
∵|MN|•|AB|=4
=4=4≥4=8，
∴（|MN|•|AB|）_min=8，
∵|AB|²+|MN|²=4（+）==28，
∴+==，
當(dāng)（|MN|•|AB|）_min=8時(shí)，
則（+）_max==．
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：垂徑定理，勾股定理，兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，直線的一般式方程，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中得出|AB|²+|MN|²的值為定值，同時(shí)求出|MN|•|AB|的最小值是解本題的關(guān)鍵．