Question

已知雙曲線的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)分別是橢圓的焦點(diǎn)與頂點(diǎn)，若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形恰為正方形，則橢圓的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)雙曲線的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)分別是橢圓的焦點(diǎn)與頂點(diǎn)，確定雙曲線的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)，再根據(jù)雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形恰為正方形，確定雙曲線的漸近線，從而求出橢圓的離心率．
解答：解：∵雙曲線的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)分別是橢圓的焦點(diǎn)與頂點(diǎn)
∴雙曲線的頂點(diǎn)是，焦點(diǎn)是（±a，0）
設(shè)雙曲線方程為
∴雙曲線的漸近線方程為
∵
∴n=b
∵雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形恰為正方形
∴雙曲線的漸近線方程為y=±x
∴m=n
∴a²-b²=b²
∴c²=a²-c²
∴a²=2c²
∴
∴
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓方程為載體，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查橢圓的離心率，正確運(yùn)用幾何量的關(guān)系是關(guān)鍵．