Question

設(shè)a＞0，f(x)＝是R上的偶函數(shù)．
(1)求a的值；
(2)判斷并證明函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上的單調(diào)性；
(3)求函數(shù)的值域．

Answer 1

（1）a＝1（2）f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)（3）[2，＋∞)

(1)因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，故f(1)＝f(－1)，
于是＝＋3a，即.因?yàn)閍＞0，故a＝1.
(2)設(shè)x₂＞x₁≥0，f(x₁)－f(x₂)＝(3x₂－3x₁)(－1)．
因?yàn)?^x為增函數(shù)，且x₂＞x₁，
故3x₂－3x₁＞0.因?yàn)閤₂＞0，x₁≥0，故x₂＋x₁＞0，于是＜1，即－1＜0，所以f(x₁)－f(x₂)＜0，所以f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)．
(3)因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，且f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，故f(0)＝2為函數(shù)的最小值，于是函數(shù)的值域?yàn)閇2，＋∞)．