Question

過雙曲線

x2

3

-y2=1的右焦點(diǎn)F₂，作傾斜角為

π

4

的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，
求：（1）|AB|的值；
（2）△F₁AB的周長（F₁為雙曲線的左焦點(diǎn)）．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線方程

x2

3

-y2=1可得a=

3

，b=1，又由c²=a²+b²，得c=2，F(xiàn)₂（2，0），故直線方程為y=x-2，再由弦長公式能夠?qū)С鰘AB|的值．
（2）由雙曲線定義得|AF₁|=|AF₂|+2a，|BF₁|=|BF₂|+2a，由此能求出△F₁AB的周長．

解答：解：（1）由雙曲線方程

x2

3

-y2=1可得a=

3

，b=1，
又由c²=a²+b²，得c=2，F(xiàn)₂（2，0）

所以直線AB的方程為：y=x-2 設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2) 由 y=x-2 x2 3 -y2=1 消去y得2x2-12x+15=0 ∴x1+x2=6，x1x2= 15 2 由弦長公式|AB|= 1+k2 • (x1+x2)2-4x1x2 ，得 |AB|= 1+12 • 62-4× 15 2 =2 3

（2）如圖，由雙曲線定義得：
|AF₁|=|AF₂|+2a，
|BF₁|=|BF₂|+2a
∴△F₁AB的周長=|AF₁|+|BF₁|+|AB|
=|AF₁|+|BF₂|+4×

3

+|AB|
=2|AB|+4

3

=8

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要注意弦長公式的運(yùn)用，合理地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題．