Question

14．已知P為雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若∠F₁PF₂=60°，則△PF₁F₂的面積等于（　�。�

• A． $3\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由雙曲線的方程可得a、b、c的值，即可得|F₁F₂|的值，由余弦定理可得|PF₁||PF₂|的值，進(jìn)而有三角形面積公式計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$，其中a=$\sqrt{4}$=2，b=$\sqrt{3}$，
則c=$\sqrt{3+4}$=$\sqrt{7}$，
則|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{7}$，
由余弦定理可得：|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos60°，
又由||PF₁|-|PF₂||=2a=4，
則有|F₁F₂|²=（|PF₁|-|PF₂|）²+2|PF₁||PF₂|-2|PF₁||PF₂|cos60°，
即28=16+|PF₁||PF₂|，
解可得|PF₁||PF₂|=12，
S=$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|sin60°=3$\sqrt{3}$；
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，涉及余弦定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出|PF₁||PF₂|的值．