Question

如圖五面體中，平面ABCD⊥平面BFEC，AB=AD=BF=EF=1，CB=CD=CE=

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，AB⊥BC，F(xiàn)B⊥BC，AD⊥DC，F(xiàn)E⊥EC．
（1）證明：AF∥DE；
（2）求二面角E-AD-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）證明AF∥DE，利用面面平行的性質(zhì)定理進行證明，只需證明AB∥平面DEM，BF∥平面DEM即可；
（2）作MN⊥AD，垂足為N，連接EN，則EN⊥AD，可得∠ENM為所求二面角的平面角，在△DMN中可求．

解答：（1）證明：∵平面ABCD⊥平面BFEC，AB⊥BC，平面ABCD∩平面BFEC=BC，
∴AB⊥平面BFEC
∵FB?平面BFEC
∴AF⊥FB
∵AB⊥BC，F(xiàn)B⊥BC，∴四邊形ABCD和四邊形BCEF中∠BCD=∠BCE=60°
過D作DM⊥BC于M，連接EM，在△DMC和△EMC中，∠MCD=∠MCE=60°，CD=CE，CM=CM
∴△DMC≌△EMC
∴∠DMC=∠EMC=90°
∴EM⊥BC
∵AB⊥BC，F(xiàn)B⊥BC
∴EM∥BF，DM∥AB
∵EM，DM?平面DEM，BF，AB?平面DEM
∴AB∥平面DEM，BF∥平面DEM
∵AB∩BF=B
∴平面ABF∥平面DEM
∵平面ADEF與平面ABF、平面DEM的交線分別為AF，DE
∴AF∥DE；
（2）解：作MN⊥AD，垂足為N，連接EN，則EN⊥AD，所以∠ENM為所求二面角的平面角
由（1）知EM=MD=

3

2

，在△DMN中，MN=

3 3

4

，∴tan∠ENM=

2 3

3

∴cos∠ENM=

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點評：本題考查線線平行，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握面面、線面平行的判定，正確找出面面角．