Question

【題目】已知函數存在唯一的極值點．

（1）求實數的取值范圍；

（2）若，證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）求導得到，設，討論，，，四種情況，根據零點存在定理計算得到答案.

（2）根據題意得到，，根據得到，化簡得到答案.

（1）函數的定義域為，，令，

①若，則，在上單調遞增，不合題意；

②若，，令，得，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

，

（ⅰ）若，即時，，，

在上單調遞增，不合題意；

（ⅱ）若，即時，，，

因為，則，

所以在上有兩個變號零點，所以有兩個極值點，不合題意；

③若，，則在上單調遞減；

且，，存在唯一，使，

當時，，，當時，，，

所以是的唯一極值點，符合題意；

綜上，的取值范圍是．

（2）由（1）可知，，

因為，，所以，，，

由（1）可知函數在上單調遞減，

所以，，

即，，

現證明不等式：，其中

要證，即證，即證，

即證，易知成立.

所以，即，

即，所以，證畢．