【題目】已知函數存在唯一的極值點.
(1)求實數的取值范圍;
(2)若,證明:.
【答案】(1);(2)詳見解析.
【解析】
(1)求導得到,設,討論,,,四種情況,根據零點存在定理計算得到答案.
(2)根據題意得到,,根據得到,化簡得到答案.
(1)函數的定義域為,,令,
①若,則,在上單調遞增,不合題意;
②若,,令,得,
所以在上單調遞減,在上單調遞增,
,
(ⅰ)若,即時,,,
在上單調遞增,不合題意;
(ⅱ)若,即時,,,
因為,則,
所以在上有兩個變號零點,所以有兩個極值點,不合題意;
③若,,則在上單調遞減;
且,,存在唯一,使,
當時,,,當時,,,
所以是的唯一極值點,符合題意;
綜上,的取值范圍是.
(2)由(1)可知,,
因為,,所以,,,
由(1)可知函數在上單調遞減,
所以,,
即,,
現證明不等式:,其中
要證,即證,即證,
即證,易知成立.
所以,即,
即,所以,證畢.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知點(其中,點P的軌跡記為曲線,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,點Q在曲線上.
(1)求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程;
(2)當,時,求曲線與曲線的公共點的極坐標
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】國慶70周年閱兵式上的女兵們是一道靚麗的風景線,每一名女兵都是經過層層篩選才最終入選受閱方隊,篩選標準非常嚴格,例如要求女兵身高(單位:cm)在區(qū)間內.現從全體受閱女兵中隨機抽取200人,對她們的身高進行統(tǒng)計,將所得數據分為,,,,五組,得到如圖所示的頻率分布直方圖,其中第三組的頻數為75,最后三組的頻率之和為0.7.
(1)請根據頻率分布直方圖估計樣本的平均數和方差(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表);
(2)根據樣本數據,可認為受閱女兵的身高X(cm)近似服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數,近似為樣本方差.
(i)求;
(ii)若從全體受閱女兵中隨機抽取10人,求這10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率.
參考數據:若,則,,,,,.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,過的直線與拋物線相交于兩點.
(1)若點是點關于坐標原點的對稱點,求面積的最小值;
(2)是否存在垂直于軸的直線,使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在,求出的方程和定值;若不存在,說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】十項全能是由跑、跳、投等10個田徑項目組成的綜合性男子比賽項目,按照國際田徑聯合會制定的田徑運動全能評分表計分,然后將各個單項的得分相加,總分多者為優(yōu)勝.下面是某次全能比賽中甲、乙兩名運動員的各個單項得分的雷達圖.
下列說法錯誤的是( )
A.在100米項目中,甲的得分比乙高
B.在跳高和標槍項目中,甲、乙的得分基本相同
C.甲的各項得分比乙更均衡
D.甲的總分高于乙的總分
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】紅鈴蟲(Pectinophora gossypiella)是棉花的主要害蟲之一,其產卵數與溫度有關.現收集到一只紅鈴蟲的產卵數y(個)和溫度x(℃)的8組觀測數據,制成圖1所示的散點圖.現用兩種模型①,②分別進行擬合,由此得到相應的回歸方程并進行殘差分析,進一步得到圖2所示的殘差圖.
根據收集到的數據,計算得到如下值:
25 | 2.89 | 646 | 168 | 422688 | 48.48 | 70308 |
表中;;;;
(1)根據殘差圖,比較模型①、②的擬合效果,應選擇哪個模型?并說明理由;
(2)根據(1)中所選擇的模型,求出y關于x的回歸方程(系數精確到0.01),并求溫度為34℃時,產卵數y的預報值.
(參考數據:,,,)
附:對于一組數據,,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為,.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面為菱形,,.平面平面,,,分別是,的中點.
(1)求證://平面;
(2)若直線與平面所成的角為,求直線與平面所成角的正弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,用一個半徑為10厘米的半圓紙片卷成一個最大的無底圓錐,放在水平桌面上,被一陣風吹倒.
(1)求該圓錐的表面積和體積;
(2)求該圓錐被吹倒后,其最高點到桌面的距離.
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com