Question

選修4-5：不等式選講
設f（x）=|x|+2|x-a|（a＞0）．
（I）當a=l時，解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若f（x）≥4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當a=l時，f（x）=|x|+2|x-1|=，分三種情況求出不等式的解集，再取并集即得所求．
（Ⅱ）化簡函數(shù)f（x）=|x|+2|x-a|的解析式，求出它的最小值，由題意可得f（x）的最小值a大于或等于4，由此求得a取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）當a=l時，f（x）=|x|+2|x-1|=．…（2分）
當x＜0時，由2-3x≤4，得-≤x＜0；
當0≤x≤1時，1≤2-x≤2，解得 0≤x≤1；
當x＞1時，由3x-2≤4，得1＜x≤2．
綜上，不等式f（x）≤4的解集為[-，2]．…（5分）
（Ⅱ）f（x）=|x|+2|x-a|=．…（7分）
可見，f（x）在（-∞，a]單調(diào)遞減，在（a，+∞）單調(diào)遞增．
當x=a時，f（x）取最小值a．
若f（x）≥4恒成立，則應有a≥4，
所以，a取值范圍為[4，+∞）．…（10分）
點評：本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題以及求函數(shù)的最小值，屬于中檔題．