Question

3．已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1＞a_n（n∈N^*），a₁=1，該數(shù)列的前三項(xiàng)分別加上1，1，3后成等比數(shù)列，a_n+2log₂b_n=-1．
（Ⅰ）分別求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n＜3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)設(shè)d為等差數(shù)列{a_n}的公差，且d＞0，利用（2+d）²=2（4+2d）計(jì)算可知d=2，進(jìn)而可得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；利用a_n=-1-2log₂b_n計(jì)算可知b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（Ⅱ）通過(guò)（I）可知a_n•b_n=（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)d為等差數(shù)列{a_n}的公差，且d＞0，
∵a₁=1，a₂=1+d，a₃=1+2d，且分別加上1，1，3成等比數(shù)列，
∴（2+d）²=2（4+2d），即d²=4，
解得：d=2或d=-2（舍），
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
又因?yàn)閍_n=-1-2log₂b_n，所以log₂b_n=-n，即b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（Ⅱ）證明：由（I）可知a_n•b_n=（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
則${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+…+\frac{2n-1}{2^n}$，①
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^4}+…+\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$，②
①-②，得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=1+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴${T_n}=1+\frac{{1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{2n-1}{2^n}=3-\frac{1}{{{2^{n-2}}}}-\frac{2n-1}{2^n}=3-\frac{2n+3}{2^n}＜3$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．