Question

18．下列四個命題：
①若△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，c=2，A=60°，則a的值為$\sqrt{3}$；
②等差數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₁，a₃，a₄成等比數(shù)列，則公差為-$\frac{1}{2}$；
③已知a＞0，b＞0，a+b=1，則$\frac{2}{a}$+$\frac{3}$的最小值為5+2$\sqrt{6}$；
④在△ABC中，若sin²A＜sin²B+sin²C，則△ABC為銳角三角形．
其中正確命題的序號是①③  ．（把你認(rèn)為正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析 在①中，由△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，c=2，A=60°，求出b=1，再根據(jù)余弦定理，得a=$\sqrt{3}$；在②中，利用等差數(shù)列通項公式、等比數(shù)列性質(zhì)求出公差d=0或d=-$\frac{1}{2}$；在③中，利用基本不等式能求出當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3a}=\frac{2b}{a}$時，$\frac{2}{a}$+$\frac{3}$取最小值5+2$\sqrt{6}$；在④中，由正弦定理得a²＜b²+c²，從而A為銳角，但B和C無法判斷，因此可知該三角形為的形狀無法判斷．

解答 角：在①中，∵△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，c=2，A=60°，
又△ABC面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA
∴$\frac{1}{2}•b×2×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得b=1，
根據(jù)余弦定理，得：a²=b²+c²-2bccosA=1+4-2×1×2×$\frac{1}{2}$=3
∴a=$\sqrt{3}$，故①正確；
在②中，∵等差數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₁，a₃，a₄成等比數(shù)列，
∴（2+2d）²=2（2+3d），解得d=0或d=-$\frac{1}{2}$，故②錯誤；
在③中，∵a＞0，b＞0，a+b=1，
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{3}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{3}$）（a+b）=5+$\frac{3a}+\frac{2b}{a}$≥5+2$\sqrt{\frac{3a}×\frac{2b}{a}}$=5+2$\sqrt{6}$，
∴當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3a}=\frac{2b}{a}$時，$\frac{2}{a}$+$\frac{3}$取最小值5+2$\sqrt{6}$，故③正確；
在④中，因為△ABC中，sin²A＜sin²B+sin²C，那么a²＜b²+c²，
故cosA＞0，即A為銳角，但B和C無法判斷，因此可知該三角形為的形狀無法判斷，故④錯誤．
故答案為：①③．

點評 本題考查命題真假的判斷，涉及到正弦定理、余弦定理、等差數(shù)列、等比數(shù)列、三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．