(2013•遼寧一模)已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的右焦點F,直線x=
a2
c
與其漸近線交于A,B兩點,且△ABF為鈍角三角形,則雙曲線離心率的取值范圍是( 。
分析:先通過聯(lián)立方程組求出A,B坐標,根據(jù)△ABF為鈍角三角形得到∠AFB>90°,可知∠AFD>45°,即DF<DA,再分別求出DF與DA長度,用含a,c的式子表示,因為離心率等于
c
a
,即可求出離心率的范圍.
解答:解:雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±
b
a
x
聯(lián)立方程組
y=±
b
a
x
x=
a2
c
,解得A(
a2
c
,
ab
c
),B(
a2
c
,-
ab
c
),
設直線x=
a2
c
與x軸交于點D
∵F為雙曲線的右焦點,∴F(C,0)
∵△ABF為鈍角三角形,且AF=BF,∴∠AFB>90°,∴∠AFD>45°,即DF<DA
∴c-
a2
c
ab
c
,b<a,c2-a2<a2
∴c2<2a2,e2<2,e<
2
又∵e>1
∴離心率的取值范圍是1<e<
2

故選D
點評:本題主要考查雙曲線的離心率的范圍的求法,關鍵是找到含a,c的齊次式,再解不等式.
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-2
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1
2

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3
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+
cosC
sinB
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sinθ
sinθ
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